Question

已知函数f（x）=x³+ax²+x-1．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的极大值与极小值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）先求出函数的导数，令导数等于0求出导数的零点，再令导数大于0求出单调增区间，导数小于0求出函数的减区间，再由极值的定义，导数零点左增右减为极大值点，左减右增为极小值点，求出相应极值即可；
（II）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，因为在函数式中含字母系数a，要对a的取值进行分类讨论．

解答：解：（I）当a=-2时，f（x）=x³-2x²+x-1，f′（x）=3x²-4x+1，令f′（x）=0，解得x₁=-3，x₂=1，
当f′（x）＞0时，x＜

1

3

或x＞1；当f′（x）＜0时，

1

3

＜x＜1
当x变化时，x与f′（x）、f（x）的变化情况如下：

x	(-∞， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	- 23 27	↘	-1	↗

所以当x=

1

3

时，f（x）有极大值-

23

27

；当x=1时，f（x）有极小值-1．
（II）f′（x）=3x²+2ax+1
当-

3

≤a≤

3

时，函数f（x）=x³+ax²+x-1的单调递增区间为R；
当a＜-

3

或

3

＜a时，函数f（x）=x³+ax²+x-1的单调递增区间为(-∞，

-a- a2-3

3

)，(

-a+ a2-3

3

，+∞)，单调递减区间为(

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，要会根据函数的增减性得到函数的极值，本题还涉及了利用导数研究函数的单调性等知识，考查运算求解能力．要求会根据导函数的正负判断得到函数的单调区间，对含有字母参数的问题能够运用分类讨论的思想方法．属中档题．