Question

20．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．
（1）写出函数f（x）（x∈R）的解析式．
（2）若函数g（x）=f（x）+（4-2a）x+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值h（a）．

Answer 1

分析 （1）利用函数的奇偶性曲线函数的解析式即可．
（2）利用分段函数以及二次函数的性质，通过分类讨论求解函数的最小值即可．

解答 解：（1）设x＞0，则-x＜0．又因为当x≤0时，f（x）=x²+2x，
所以f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，又因为f（-x）=f（x）．
所以x＞0时，f（x）=x²-2x．
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{{x}^{2}-2x，x＞0}\end{array}\right.$．
（2）函数g（x）=f（x）+（4-2a）x+2（x∈[1，2]），f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{{x}^{2}-2x，x＞0}\end{array}\right.$．
∴g（x）=x²+2（1-a）x+2．x∈[1，2]，
①当a-1≤1时，即a≤2，g（x）_min=g（1）=5-2a
②当1＜a-1＜2时，即2＜a＜3，g（x）_min=g（a-1）=-a²+2a+1
③当a-1≥2时，即a≥3，g（x）_min=g（2）=10-4a
综上：h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{5-2a，a≤2}\\{-{a}^{2}+2a+1，a∈（2，3）}\\{10-4a，a≥3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查的知识要点：函数的奇偶性，利用奇偶性求函数的解析式，利用分类讨论思想求函数的最值