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    已知F1，F2为椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    ，（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．
    （1）证明：d，b，a成等比数列；
    （2）若M的坐标为(
    		2
    ，1)    ，求椭圆C的方程；
    [文科]在（2）的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若
    OA
    •
    OB
    =0，求直线l的方程．
    [理科]在（2）的椭圆中，过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，若椭圆C上存在点P，使得
    OP
    =
    OA
    +
    OB
    ，求直线l的方程．
    分析：（1）设M点的坐标为（c，y0），则|y0|=d，代入椭圆方程，整理可得
    d
    b
    =
    b
    a
    ，进而根据等比数列的定义得到结论；
    （2）M的坐标为(
    		2
    ，1)    ，则c=
    		2
    ，d=1    ，进而求出a，b的值，可得椭圆C的方程；
    [文科]设点A（x1，y1）、B（x2，y2），由
    OA
    •
    OB
    =0，联立方程，由韦达定理和向量垂直的充要条件构造关于直线斜率的方程，解方程求出直线斜率，可得直线l的方程．
    [理科]设点P（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），进而根据
    OP
    =
    OA
    +
    OB
    ，由韦达定理和向量加法坐标运算公式，构造关于直线斜率的方程，解方程求出直线斜率，可得直线l的方程．
    解答：证明：（1）由条件知M点的坐标为（c，y0），其中|y0|=d，
    ∴
    c2
    a2
    +
    d2
    b2
    =1，d=b?
    		1-
    c2
    a2
    =
    b2
    a
    ，（3分）
    ∴
    d
    b
    =
    b
    a
    ，
    即d，b，a成等比数列．（4分）
    解：（2）由条件知c=
    		2
    ，d=1    ，
    ∴
    b2=a?1
    a2=b2+2
    (6分)
    ∴解得a=2，b=
    		2
    ．，
    ∴椭圆方程为
    x2
    4
    +
    y2
    2
    =1    （8分）
    [文科]设点A（x1，y1）、B（x2，y2），
    当l⊥x轴时，A（-
    		2
    ，-1）、B（-
    		2
    ，1），
    所以
    OA
    •
    OB
    ≠0．（9分）
    设直线l的方程为y=k（x+
    		2
    ），
    代入椭圆方程得
    x2
    4
    +
    k2(x+
    		2
    )2
    2
    =1    ．（11分）
    即（1+2k2）x2-4
    		2
    k2    x+4k2-4=0
    所以x1+x2=
    4
    		2
    k2
    1+2k2
    ，x1?x2=
    4k2-4
    1+2k2
    ．（13分）
    由
    OA
    •
    OB
    =0    得x1?x2+y1?y2=0
    x1?x2+k2(x1+
    		2
    )(x2+
    		2
    )=(1+k2)x1?x2+
    		2
    k2(x1+x2)+2k2=0
    代入得
    (1+k2)(4k2-4)
    1+2k2
    -
    4
    		2
    k2?
    		2
    k2
    1+2k2
    +2k2=0    ，解得k=±
    		2
    ．
    所以直线l的方程为y=±
    		2
    (x+
    		2
    )    ．（16分）
    [理科]设点P（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），
    由
    OP
    =
    OA
    +
    OB
    ，得
    x=x1+x2
    y=y1+y2

    当l⊥x轴时，A（-
    		2
    ，-1）、B（-
    		2
    ，1），
    此时P（-2
    		2
    ，0）不在椭圆上．（9分）
    设直线l的方程为y=k（x+
    		2
    ），
    代入椭圆方程得（1+2k2）x2-4
    		2
    k2    x+4k2-4=0．（11分）
    所以x1+x2=
    4
    		2
    k2
    1+2k2
    ，x1?x2=
    4k2-4
    1+2k2
    ．（13分）
    把点P（x，y）代入椭圆方程得
    32k4
    4(1+2k2)2
    +
    8k2
    2(1+2k2)2
    =1    ，解得k2=
    1
    2
    ，
    所以直线l的方程为y=±
    		2
    2
    (x+
    		2
    )    ．（16分）
    点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，是高考的压轴题型，综合能力强，运算量大，属于难题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知F1，F2为椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，则椭圆的方程为（　　）
    A、
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    B、
    x2
    16
    +
    y2
    3
    =1
    C、
    x2
    16
    +
    y2
    4
    =1
    D、
    x2
    16
    +
    y2
    12
    =1

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知F1，F2为椭圆E的两个左右焦点，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率e满足|PF1|=e|PF2|，则e的值为
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知F1、F2为椭圆
    x2
    25
    +
    y2
    9
    =1    的两个焦点，点P是椭圆上的一个动点，则|PF1|•|PF2|的最小值是
    9
    9
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知F1、F2为椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的焦点，B为椭圆短轴的一个端点，
    BF1
    •
    BF2
    ≥
    1
    2
    F1F2
    2    则椭圆的离心率的取值范围是
    （0，
    1
    2
    ]
    （0，
    1
    2
    ]
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•荆州模拟）已知F1、F2为椭圆C：
    x2
    m+1
    +
    y2
    m
    =1的两个焦点，P为椭圆上的动点，则△F1PF2面积的最大值为2，则椭圆的离心率e为（　　）

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