Question

求下列函数的极值．

(1)f(x)＝x³－12x；

(2)f(x)＝x²e^－x；

(3)f(x)＝－2．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)函数定义域为R．(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)． 　　令(x)＝0，得x＝±2． 　　当x＞2或x＜－2时，(x)＞0， 　　∴函数在(－∞，2)和(2，＋∞)上是增函数； 　　当－2＜x＜2时，(x)＜0， 　　∴函数在(－2，2)上是减函数． 　　∴当x＝－2时，函数有极大值f(－2)＝16， 　　当x＝2时，函数有极小值f(2)＝－16． 　　(2)函数定义域为R．(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x， 　　令(x)＝0，得x＝0或x＝2． 　　当x＜0或x＞2时，(x)＜0， 　　∴函数f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上是减函数； 　　当0＜x＜2时，(x)＞0， 　　∴函数f(x)在(0，2)上是增函数． 　　∴当x＝0时，函数取得极小值f(0)＝0， 　　当x＝2时，函数取得极大值f(2)＝4e－2． 　　(3)函数的定义域为R．(x)＝， 　　令(x)＝0，得x＝±1． 　　当x＜－1或x＞1时，(x)＜0， 　　∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是减函数； 　　当－1＜x＜1时，(x)＞0， 　　∴函数f(x)在(－1，1)上是增函数． 　　当x＝－1时，函数取得极小值f(－1)＝－3， 　　当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1． 　　思路分析：按照求极值的基本方法，首先从方程(x)＝0求出在函数f(x)定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．

提示：

解答本题时，应注意(x0)＝0，只是f(x)在x0处有极值的必要条件，如果再加上x0附近导数的符号相反，才能断定函数在x0处取得极值，反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．