Question

如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E，
（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）若AC=AP，求的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦， ∴∠BAP=∠C， 又∵∠APD=∠CPE， ∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE， ∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE， ∴∠ADE=∠AED； （Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP=∠C， 又∵∠APC=∠BPA， ∴△APC∽△PBA， ∴， ∵AC=AP， ∴∠APC=∠C， ∴∠APC=∠C=∠BAP， 由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°， ∵BC是圆O的直径， ∴∠BAC=90°， ∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°， ∴∠C=∠APC=∠BAP=， 在Rt△ABC中，，即， ∴， ∴。