Question

已知函数f（x）=ax--61nx在x=2处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）g（x）=（x-3）e^x-m（e为自然对数的底数），若对任意x₁∈（0，2），x₂∈[2，3]，总有f（x₁）-g（x₂）≤0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得
∵函数f（x）=ax--61nx在x=2处取得极值，
∴f′（2）=0，即=0，∴a=2
当a=2时，
x∈（1，2）时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞），f′（x）＞0
∴函数f（x）在x=2处取得极值，∴a=2；
（2）由（1）知，
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数；当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，2）上是减函数
∴f（x）在（0，2）上的最大值为f（1）=-2
∵g（x）=（x-3）e^x-m，∴g′（x）=（x-2）e^x≥0在[2，3]上恒成立
∴g（x）在[2，3]上单调递增，其值域为[-e²-m，-m]
∵对任意x₁∈（0，2），x₂∈[2，3]，总有f（x₁）-g（x₂）≤0成立，
∴f（x）_max≤g（x）_min，
∴-2≤-e²-m
∴m≤2-e²．
分析：（1）确定函数的定义域，求导函数，利用极值的定义，即可求实数a的值；
（2）对任意x₁∈（0，2），x₂∈[2，3]，总有f（x₁）-g（x₂）≤0成立，等价于f（x）_max≤g（x）_min，求出最值，即可得到结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，对任意x₁∈（0，2），x₂∈[2，3]，总有f（x₁）-g（x₂）≤0成立，转化为f（x）_max≤g（x）_min，是解题的关键．