Question

（2013•徐汇区一模）已知函数f（x）=log₂

x+1

x-1

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）求f（x）的反函数f^-1（x），并求使得函数g（x）=f^-1（x）-log₂k有零点的实数k的取值范围．

Answer 1

分析：对（1）先求函数的定义域，再利用奇、偶函数的定义证明即可．
对（2）先求出反函数，再求反函数的值域，然后利用函数思想分析求K的取值范围．

解答：解：（1）f（x）的定义域为：（-∞，-1）∪（1，+∞）
∵f（-x）=

log	-x+1 -x-1 2

=

log

x-1 x+1 2

=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）由y=

log

x+1 x-1 2

，得x=

2y+1

2y-1

，
∴f^-1（x）=

2x+1

2x-1

，x≠0．
∵函数g（x）=f^-1（x）-log₂K有零点，
∴log₂k=

2x+1

2x-1

=1+

2

2x-1

∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
∴k∈（2，+∞）∪（0，

1

2

）．
∴k的取值范围是（2，+∞）∪（0，

1

2

）．

点评：本题考查函数的奇偶性，反函数的求法及函数思想的应用．