Question

若有0＜γ＜β＜α＜

π

2

，则tan2α+

4cosαcosβ

tanβsin(α-β)

+(tanα-3tanγ)2的最小值是

 

．

Answer 1

分析：由三角恒等变换公式，化简原式的第二项得

4cosαcosβ

tanβsin(α-β)

=

4

tanβ(tanα-tanβ)

，利用基本不等式算出当且仅当tanα=2tanβ时

4

tanβ(tanα-tanβ)

的最小值为

16

tan2α

，从而得到tan2α+

4cosαcosβ

tanβsin(α-β)

≥tan2α+

16

tan2α

≥8．再由（tanα-3tanγ）²≥0，可得当tanα=3tanγ时（tanα-3tanγ）²的最小值为0，即得当且仅当tanα=2、tanβ=1、tanγ=

2

3

时，tan2α+

4cosαcosβ

tanβsin(α-β)

+(tanα-3tanγ)2的最小值为8..

解答：解：∵sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
∴

4cosαcosβ

tanβsin(α-β)

=

4cosαcosβ

tanβ(sinαcosβ-cosαsinβ)

=

4

tanβ(tanα-tanβ)

∵0＜β＜α＜

π

2

∴tanβ（tanα-tanβ）≤[

tanβ+(tanα-tanβ)

2

]2=

1

4

tan²α
当且仅当tanβ=tanα-tanβ，即tanα=2tanβ时等号成立
因此，tan2α+

4cosαcosβ

tanβsin(α-β)

≥tan2α+

4

1 4 tan2α

=tan2α+

16

tan2α

又∵tan2α+

16

tan2α

≥2

tan2α• 16 tan2α

=8
∴tan2α+

4cosαcosβ

tanβsin(α-β)

≥8，当且仅当tan2α=

16

tan2α

时，即tanα=2时等号成立
又∵（tanα-3tanγ）²≥0
∴结合0＜γ＜α＜

π

2

，可得当且仅当tanα=3tanγ时，（tanα-3tanγ）²的最小值为0
综上所述，可得当且仅当tanα=2、tanβ=1、tanγ=

2

3

时，
tan2α+

4cosαcosβ

tanβsin(α-β)

+(tanα-3tanγ)2的最小值为8．
故答案为：8

点评：本题给出α、β、γ满足的条件，求关于三个角的三角函数式的最小值．着重考查了三角恒等变换、利用基本不等式求最值和不等式等价变形等知识，属于中档题．