Question

已知函数f（x）=﹣x²+2ex+m﹣1，g（x）=x+ （x＞0）．
（1）若g（x）=m有实根，求m的取值范围；
（2）确定m的取值范围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．

Answer 1

解：（1）方法一：∵g（x）=x+≥2e²=2e，等号成立的条件是x=e．
故g（x）的值域是[2e，+∞），
因而只需m≥2e，则g（x）=m就有实根．
故m的取值范围是{m|m≥2e}．
方法二：作出g（x）=x+e2x的图象如图1：
观察图象，知：若使g（x）=m有实根，则只需m≥2e．
故m的取值范围是{m|m≥2e}．
方法三：解方程由g（x）=m，得x²﹣mx+e²=0．
此方程有大于零的根，故，
等价于，故m≥2e．
故m的取值范围是{m|m≥2e}．
（2）若g（x）﹣f（x）=0有两个相异的实根，即g（x）=f（x）中，
函数g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，作出g（x）=x+（x＞0）的图象，如图2
∵f（x）=﹣x²+2ex+m﹣1
=﹣（x﹣e）²+m﹣1+e²，
其对称轴为x=e，开口向下，最大值为m﹣1+e²，
故当m﹣1+e²＞2e，
即m＞﹣e²+2e+1时，
g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，
即g（x）﹣f（x）=0有两个相异的实根，
∴m的取值范围是：（﹣e²+2e+1，+∞）．