Question

（2004•广州一模）已知函数f（x）=ln（x+1）-x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若x＞-1，证明：1-

1

x+1

≤ln(x+1)≤x．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．f'（x）=-

x

x+1

，由此能求出函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，故ln（x+1）-x≤0，ln（x+1）≤x．令g(x)=ln(x+1)+

1

x+1

-1，则g′(x)=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

．由此能够证明当x＞-1时，1-

1

x+1

≤ln(x+1)≤x．

解答：（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．
f'（x）=

1

x+1

-1=-

x

x+1

…（2分）
由f'（x）＜0及x＞-1，得x＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）是减函数，
即f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．…4
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，
因此，当x＞-1时，f（x）≤f（0），
即ln（x+1）-x≤0，
∴ln（x+1）≤x．…（6分）
令g(x)=ln(x+1)+

1

x+1

-1，
则g′(x)=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

．…（8分）
∴当x∈（-1，0）时，g'（x）＜0，
当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0．…10
∴当x＞-1时，g（x）≥g（0），
即 ln(x+1)+

1

x+1

-1≥0，
∴ln(x+1)≥1-

1

x+1

．
综上可知，当x＞-1时，
有1-

1

x+1

≤ln(x+1)≤x．…（12分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．