Question

如果函数f（x）满足下列条件：
①对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（0）=0，f（1）=1；
②对于满足条件0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，0≤x₁+x₂≤1的任意两个数x₁，x₂，
都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．则称函数f（x）为Γ函数．
（Ⅰ）分别判断函数f₁（x）=x与f₂（x）=sinx是否为Γ函数，并说明理由；
（Ⅱ）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）；
（Ⅲ）不等式f（x）≤x对于一切x∈[0，1]都成立吗？证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）解：对任意x∈[0，1]，f₁（x）=x≥0，且f₁（0）=0，f₁（1）=1，满足条件①；
对满足条件0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，0≤x₁+x₂≤1的任意两个数x₁，x₂，f₁（x₁+x₂）=x₁+x₂≥f₁（x₁）+f₁（x₂）=x₁+x₂，满足条件②．
故f₁（x）=x是Γ函数；
对任意x∈[0，1]，f₂（x）=sinx≥0成立，且f₂（0）=0，f₂（1）=1，满足条件①；
但取x₁=1，x₂=2时，f₂（x₁+x₂）=sin=-1，f₂（x₁）+f₂（x₂）=sin+sinπ=1，f（x₁+x₂）＜f（x₁）+f（x₂），不满足条件②，
故f₂（x）=sinx不是Γ函数；
（Ⅱ）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，
则0≤y-x≤1，∴f（y-x）≥0．
∴f（y）=f（y-x+x）≥f（y-x）+f（x）≥f（x）．
∴对于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）．
（Ⅲ）不都成立，证明如下：
取函数，
则f（x）显然满足题目中的（1），（2）两个条件．
任意取两个数x₁，x₂，使得x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
若x₁，x₂∈[0，1]，则f（x₁+x₂）≥0=f（x₁）+f（x₂）．
若x₁，x₂分别属于区间[0，]和（，1]中一个，则f（x₁+x₂）=1=f（x₁）+f（x₂），
而x₁，x₂不可能都属于（，1]．
综上可知，f（x）满足题目中的三个条件．
而f（0.51）=1＞1.5×0.51=0.785．
即不等式f（x）≤x并不对所有x∈[0，1]都成立．
分析：（Ⅰ）按照Γ函数的定义逐个验证即可；
（Ⅱ）欲证对于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y），将y写成y-x+x，利用f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）进行放缩即得．
（Ⅲ）取函数，验证此函数符合题目中的条件（1），（2），但是f（0.51）=1＞1.5×0.51=0.785．从而不等式f（x）≤x并不对所有x∈[0，1]都成立．
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．