Question

如图为一多面体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，CE∥DP，且PD=2CE．
（1）求证：BE∥平面PDA；
（2）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；
（3）若PD=

2

AD，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取PD中点F，证明四边形EFAB为平行四边形，可得BE∥AF，利用线面平行的判定可得BE∥平面PDA；
（2）设AC∩BD=O，证明CO∥EN，C0⊥平面PDB，即可得到NE⊥平面PDB；
（3）设平面PBE与平面ABCD所夹角为α，利用cosα=

S△BDC

S△PBE

即可求得结论．

解答：（1）证明：取PD中点F，则FD∥EC，FD=EC

∴四边形EFDC为长方形
∴EF∥CD∥AB
∴四边形EFAB为平行四边形
∴BE∥AF
∵BE?面PDA，AF?面PDA
∴BE∥平面PDA；
（2）证明：设AC∩BD=O，则NO∥CE，NO=CE
∴四边形NOCE为长方形，∴CO∥EN
∵PD⊥面ABCD，∴CO?面ABCD
∴PD⊥CO，
∵CO⊥BD，PD∩BD=D
∴C0⊥平面PDB
∴NE⊥平面PDB；
（3）解：设平面PBE与平面ABCD所夹角为α
∵PD⊥平面ABCD于D，CE⊥平面ABCD于C，∴cosα=

S△BDC

S△PBE

在△PBE中，PB=2a，BE=

6

2

a，PE=

6

2

a，
∴S_△PBE=

1

2

•PB•EN=

1

2

•2a•

( 6 2 a)2-a2

=

2

2

a2
∵S_△BDC=

a2

2

，
∴cosα=

a2 2

2 2 a2

=

2

2

点评：本题考查线面平行，线面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．