Question

如图，直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁的长是a，底面ABCD是矩形，且AB＝2a，BC＝a，E为C₁D₁的中点．

(1)求证：平面BCE⊥平面BDE；

(2)求三棱锥B₁－BDE的体积．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：由题意知，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1是长方体，其中DD1＝AA1＝a，CD＝AB＝2a．因为E为C1D1的中点，易得DE＝CE＝a，所以DE2＋CE2＝DC2，即DE⊥CE．又因为BD＝＝a，BE＝＝a，所以BD2＝DE2＋BE2，即DE⊥BE．因为BE∩CE＝E，所以DE⊥平面BCE．又因为DE平面BDE，所以平面BCE⊥平面BDE． 　　(2)解：连接B1D1．因为BD∥B1D1，所以B1D1∥平面BDE，所以V＝V＝V＝·S·BC＝a3，即三棱锥B1－BDE的体积为a3．