Question

如图，在三棱锥P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC．

(1)求证：PC⊥AB；

(2)求二面角B-AP-C的大小．

(3)求点C到平面APB的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(1)取AB中点D，连结PD，CD． 　　∵AP＝BP， 　　∴PD⊥AB． 　　∵AC＝BC． 　　∴CD⊥AB　　2分 　　∵PD∩CD＝D． 　　∴AB⊥平面PCD　　3分 　　∵PC平面PCD， 　　∴PC⊥AB　　4分 　　(2)∵AC＝BC，AP＝BP， 　　∴△APC≌△BPC． 　　∴PC⊥AC， 　　∴PC⊥BC． 　　又∠ACB＝90°，且AC∩PC＝C， 　　∴BC⊥平面PAC． 　　取AP中点E，连结BE，CE． 　　∴AB＝BP， 　　∴BE⊥AP． 　　∵CE是BE在平面PAC内的射影， 　　∴CE⊥AP． 　　∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角　　6分 　　在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝， 　　∴sin∠BEC＝ 　　∴二面角B-AP-C的大小为aresin　　8分 　　(4)在Rt△ABC中，∵AC＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴AB＝ 　　由已知，得AP＝BP＝　　10分 　　，设点C到平面PAB的距离为h 　　 　　　　12分 　　解法二： 　　(1)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz． 　　则C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0)． 　　设P(0，0，t)，　　2分 　　∵|PB|＝|AB|＝2， 　　∴t＝2，P(0，0，2) 　　 　　∴PC⊥AB　　4分 　　(2)取AP中点E，连结BE，CE． 　　∵|AC|＝|PC|，|AB|＝|BP|　　6分 　　∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角． 　　∵E(0，1，1)， 　　∴cos∠BEC＝ 　　∴二面角B-AP-C的大小为arccos　　8分 　　(3)∵AC＝BC＝PC， 　　∴C在平面APB内的射影为正△APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离． 　　　　10分 　　∴点C到平面APB的距离为　　12分