Question

一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（　　）

A．32π

B．34π

C．36π

D．38π

Answer 1

分析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，侧棱PD=3，且PD⊥底面ABCD，底面是一个矩形，且AD=3，DC=4．其外接球的球心O是在过底面ABCD对角线的交点M且与底面垂直的直线上和PD的中垂面的交点．据此可求出外接球的半径，进而求出答案．

解答：解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，侧棱PD=3，且PD⊥底面ABCD，底面是一个矩形，且AD=3，DC=4．
连接对角线AC、BD相交于点M，则DM=

1

2

DB=

1

2

32+42

=2.5．
设此四棱锥的外接球的球心为O，则OM⊥底面ABCD．连接OP、OD，则OP=OD，取PD的中点N，则ON⊥PD，DN=1.5．
于是此四棱锥的外接球的半径r=

1．52+2．52

=

8.5

，
∴该棱锥的外接球的表面积=4πr²=4π×8.5=34π．
故选B．

点评：由三视图正确恢复原几何体和求出外接球的半径是解决问题的关键．