Question

已知函数f（x）=2x²-alnx
（1）若a=4，求函数f（x）的极小值；
（2）设函数g（x）=-cos2x，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值相等，若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由？

Answer 1

解：（1）由已知得，xk．Com]
则当0＜x＜1时f'（x）＜0，可得函数f（x）在（0，1）上是减函数，
当x＞1时f′（x）＞0，可得函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，
故函数的极小值为f（1）=2；
（2）若存在，设f（x_i）-g（x_i）=m（i=1，2，3），则对于某一实数m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三个不同的实数根，设F（x）=f（x）-g（x）-m=2x²-alnx+cos2x-m，
则有两个不同的零点，即关于x的方程4x²-2xsin2x=a（x＞0）有两个不同的解G（x）=4x²-2xsin2x（x＞0），
则G'（x）=8x-2sin2x-4xcos2x=2（2x-sin2x）+4x（1-cos2x），
设h（x）=2x-sin2x，则h′（x）=2-2cos2x≥0，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，
则当x＞0时h（x）＞h（0）=0，即2x＞sin2x，
又1-cos2x＞0，则G′（x）＞0故G（x）在（0，+∞）上是增函数，
则a=4x²-2xsin2x（x＞0）至多只有一个解，故不存．
方法二：关于方程的解，
当a≤0时，由方法一知2x＞sin2x，此时方程无解；
当a＞0时，由于，
可以证明是增函数，此方程最多有一个解，故不存在．
分析：（1）由a=4，得函数f（x）的解析式，求出其导函数以及导数为0的根，通过比较两根的大小找到函数的单调区间，进而求出f（x）的极小值；
（2）若定义域内存在三个不同的自变量的取值x_i（i=1，2，3），使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等，设f（x_i）-g（x_i）=m．（i=1，2，3），则对于某一实数m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三个不等的实数，由此能求出在定义域内不存在三个不同的自变量的取值x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等．
点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．综合性强，难度大，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．