Question

如图是一个直三棱柱(以A₁B₁C₁为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝l，∠A_lB_lC₁＝90°，AA_l＝4，BB_l＝2，CC_l＝3．

(1)设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；

(2)求AB与平面AA₁CC₁所成的角的大小；

(3)求此几何体的体积．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　（1）证明：作交于，连． 　　则， 　　因为是的中点， 　　所以． 　　则是平行四边形，因此有， 　　平面，且平面 　　则面; 　　（2）解：如图，过作截面面，分别交，于，， 作于， 　　因为平面平面，则面． 　　连结，则就是与面所成的角． 　　因为，，所以． 　　与面所成的角为; 　　（3）因为，所以． 　　． 　　． 　　所求几何体的体积为． 　　解法二： 　　（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，因为是的中点，所以，， 　　易知，是平面的一个法向量． 　　由且平面知平面; 　　（2）设与面所成的角为． 　　求得，． 　　设是平面的一个法向量，则由得， 　　取得：． 　　又因为 　　所以，，则． 　　所以与面所成的角为; 　　（3）同解法一