Question

已知函数，（其中常数）

（1）当时，求的极大值；

（2）试讨论在区间上的单调性；

（3）当时，曲线上总存在相异两点、，使得曲线在点、处的切线互相平行，求的取值范围.

Answer 1

解（1）当时，

           ……………  1分

当，时，；当时，        

∴在和上单调递减，在单调递减    ……   2分

故                   ……………   3分

（2）

…………………………5分

①当时，则，故时，；时，

此时在上单调递减，在单调递增；       ……………   6分

②当时，则，故，有恒成立，

此时在上单调递减；                  ……………   7分

③当时，则，故时，；时，

此时在上单调递减，在单调递增；        ……………  8分

（3）由题意，可得（，且）

即    ……………   9分

∵，由不等式性质可得恒成立，又

∴  对恒成立 … 11分

令，则

对恒成立

∴在上单调递增，∴      ……………12分

故                       ……………………………13分

从而“对恒成立”等价于“”

∴的取值范围为