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    探究函数f（x）=2x+
    8
    x
    -3在区间（0，+∞）上的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
    x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
    y … 14 7 5.33 5.11 5.01 5 5.01 5.04 5.08 5.67 7 8.6 12.14 …
    （1）观察表中y值随x值变化趋势的特点，请你直接写出函数f（x）=2x+
    8
    x
    -3在区间（0，+∞）上的单调区间，并指出f（x）的最小值及此时x的值．
    （2）用单调性的定义证明函数f（x）=2x+
    8
    x
    -3在区间（0，2]上的单调性；
    （3）设函数f（x）=2x+
    8
    x
    -3在区间（0，a]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．
    分析：（1）由表中可知f（x）在（0，2]为减函数，[2，+∞）为增函数，并且当x=2时，f（x）取得最小值．
    （2）证明：设0＜x1＜x2≤2，计算f（x1）-f（x2）=
    2(x1-x2)(x1x2-4)
    x1x2
    ＞0，可得f（x）在（0，2]为减函数．
    （3）由函数f（x）在区间（0，2]上单调递减，在区间[2，+∞）上单调递增，分①当0＜a＜2时、②当a≥2时，两种情况分别求得f（x）min，从而得出结论
    解答：解：（1）由表中可知f（x）在（0，2]为减函数，
    [2，+∞）为增函数，并且当x=2时，f（x）min=5．  
    （2）证明：设0＜x1＜x2≤2，
    因为f（x1）-f（x2）=2x1+
    8
    x1
    -3-（2x2+
    8
    x2
    -3）=2（x1-x2）+
    8(x2-x1)
    x1x2
    =
    2(x1-x2)(x1x2-4)
    x1x2
    ，
    因为0＜x1＜x2≤2，所以x1-x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2-4＜0，
    所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，2]为减函数．   
    （3）由（2）可证：函数f（x）=2x+
    8
    x
    -3在区间（0，2]上单调递减，在区间[2，+∞）上单调递增．
    则①当0＜a＜2时，（0，a]⊆（0，2]，所以函数f（x）=2x+
    8
    x
    -3在区间（0，a]上单调递减，
    故f（x）min=f（a）=2a+
    8
    a
    -3．
    ②当a≥2时，函数f（x）=2x+
    8
    x
    -3在区间（0，2]上单调递减，[2，a]上单调递增，
    故f（x）min=f（2）=5．
    综上所述，函数f（x）=2x+
    8
    x
    -3在区间（0，a]上的最小值为 g（a）=
    2a+
    8
    a
    -3，0＜a＜2
    5，a≥2
    ．
    点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
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    （1）证明：函数f（x）=x+
    4
    x
    在（2，+∞）上单调递增；
    （2）探究函数f（x）=x+
    a
    x
    （a＞0）的单调性（只需写出结论，不用证明）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于函数f(x)=
    1
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    +
    1
    2
    (a＞0，且a≠1)
    （1）判断函数f（x）的奇偶性；
    （2）探究函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；
    （3）当2＜a＜4时，求函数f（x）在[-3，-1]上的最大值和最小值．

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    对于函数f(x)=a-
    12x+1
    (a∈R)：
    （1）探究函数f（x）的单调性，并给予证明；
    （2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
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    探究函数f（x）=x+
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    x
    ，x∈（-∞，0）的最大值，并确定取得最大值时x的值．列表如下：
    请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
    x … -3 -2.3 -2.2 -2.1 -2 -1.9 -1.7 -1.5 -1 -0.5 …
    y … -4.3 -4.04 -4.02 -4.005 -4 -4.005 -4.05 -4.17 -5 -8.5 …
    （1）函数f（x）=x+
    4
    x
    ，x∈（-∞，0）在区间
    （-∞，-2）
    （-∞，-2）
    上为单调递增函数．当x=
    -2
    -2
    时，f（x）最大=
    -4
    -4
    ．
    （2）证明：函数f（x）=x+
    4
    x
    在区间[-2，0）为单调递减函数．
    （3）若函数h(x)=
    x2-ax+4
    x
    在x∈[-2，-1]上，满足h（x）≥0恒成立，求a的范围．

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    4
    x
    ，x∈（-∞，0）的最大值，并确定取得最大值时x的值．列表如下：
    x … -3 -2.3 -2.2 -2.1 -2 -1.9 -1.7 -1.5 -1 -0.5 …
    y … -4.3 -4.04 -4.02 -4.005 -4 -4.005 -4.05 -4.17 -5 -8.5 …
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    x
    ，x∈（-∞，0）在区间
     
    上为单调递增函数．当x=
     
    时，f（x）最大=
     
    ．
    （2）证明：函数f（x）=x+
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    x
    在区间[-2，0）为单调递减函数．

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