Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）已知AP=AB=1，AD=$\sqrt{3}$，求二面角D-AE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC、BD，交于点O，连结OE，则OE∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-AE-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC、BD，交于点O，连结OE，
∵底面ABCD为矩形，∴O是BD中点，
∵E为PD的中点，∴OE∥PB，
∵PB?平面AEC，OE?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AP=AB=1，AD=$\sqrt{3}$，
∴A（0，0，0），C（1，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），D（0，$\sqrt{3}$，0），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
设平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，-$\sqrt{3}$，3），
又平面DEA的法向理$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设二面角D-AE-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴二面角D-AE-C的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．