Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，高AA₁=2，求：
（1）异面直线BD与AB₁所成的角的大小的余弦值
（2）四面体AB₁D₁C的体积．

Answer 1

分析：（1）根据题意知DC₁∥AB₁∴∠BDC₁就是异面直线BD 与AB₁ 所成角，解三角形即可求得结果．
（2）V_A-B1D1C=V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B1-ABC-V_D1-ACD-V_DA1C1D1-V_B-A1B1C1，而V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B1-ABC-V_D1-ACD-V_DA1C1D1-V_B-A1B1C1易求，即可求得四面体AB₁D₁C 的体积．

解答：解：（1）连接DC₁，BC₁，
易知DC₁∥AB₁，
∴∠BDC₁就是异面直线BD 与AB₁ 所成角，
在△BDC₁中，DC₁=BC₁=

5

，BD=

2

，
∴cos∠BDC₁=

2 2

5

=

10

10

．
所以异面直线BD与AB₁所成的角的大小的余弦值为

10

10

．
（2）VA-B1D1C=VABCD-A1B1C1D1-VB1-ABC-VD1-ACD-VDA1C1D1-VB-A1B1C1
而V_ABCD-AB1C1D1=S_ABCD•AA₁=1×2=2，
V_B1-ABC=V_D1-ACD=V_DA1C1D1=V_B-A1B1C1=

1

3

×

1

2

×2．
∴V_A-B1D1C═2-4×

1

3

×

1

2

×2=

2

3

．
所以四面体AB₁D₁C的体积为

2

3

．

点评：此题是个基础题．考查异面直线所成角和棱锥的体积问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，和利用割补法求棱锥的体积问题，体现了数形结合和转化的思想．