Question

在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，P为DD₁的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B₁O⊥平面PAC.

Answer 1

证明：如图建立空间直角坐标系，不妨假定正方体每边长为2，则A(2,0,0),P(0,0,1),C(0,2,0),B₁(2,2,2),O(1,1,0).

于是=(1,1,2),=(-2,2,0),=(-2,0,1),由于=-2+2=0及=-2+2=0.

∴OB₁⊥AC,OB₁⊥AP.

又AC∩AP=A,∴OB₁⊥平面PAC.

绿色通道：

立体几何中的向量方法——“三步曲”:

(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题.

(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的关系.

(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.