Question

已知，命题p：抛物线C：y=-x²+mx-1与线段AB：x+y=3（1≤x≤2）有且只有一个交点，命题q：不等式|x-m+5|+x≥0的解集为R，问命题p是命题q成立的什么条件？

Answer 1

解：命题p等价于 在[1，2]上只有一个解，等价于x²-（m+1）x+4=0 在[1，2]上只有一个根，
等价于f（x）=x²-（m+1）x+4在[1，2]上只有一个零点．
故f（1）f（2）≤0，解得 m≤3 或 m≥4．
命题q等价于函数y=|x-（m-5）|的图象恒在函数y=-x的上方，
等价于m-5≥0，解得 m≥5．
显然由命题q成立能推出命题p成立，但由命题p成立不能推出命题q成立．
故命题p是命题q成立的必要不充分条件．
分析：命题p等价于 在[1，2]上只有一个解，等价于 m≤3 或 m≥4．命题q等价于函数y=|x-（m-5）|的图象恒在函数y=-x的上方，等价于 m≥5．
显然由命题q成立能推出命题p成立，但由命题p成立不能推出命题q成立，由此得出结论．
点评：本题主要考察充分条件、必要条件、充要条件的定义，函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．