4 | 7 | ( ) | ( ) | ( ) | … | a1j | … |
7 | 12 | ( ) | ( ) | ( ) | … | a2j | … |
( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | … | a3j | … |
( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | … | a4j | … |
… | … | … | … | … | … | … | … |
ai1 | ai2 | ai3 | ai4 | ai5 | … | aij | … |
… | … | … | … | … | … | … | … |
其中每行、每列都是等差数列,aij表示位于第 i 行第 j 列的数.
(Ⅰ)写出a45的值;
(Ⅱ)写出aij的计算公式;
(Ⅲ)证明:正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
20.本小题主要考查等差数列,充要条件等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力,满分14分.
解:(Ⅰ)a45=49.
(Ⅱ)该等差数阵的第一行是首项为4,公差为3的等差数列:
a1j=4+3(j-1);
第二行是首项为7,公差为5的等差数列:
a2j=7+5(j-1);
……
第i行是首项为4+3(i-1),公差为2i+1的等差数列,因此,
aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)
=2ij+i+j
=i(2j+1)+j
(Ⅲ)必要性:若N在该等差数阵中,则存在正整数i,j使得
N=i(2j+1)+j,
从而 2N+1=2i(2j+1)+2j+1
=(2i+1)(2j+1).
即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
充分性:若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积,由于2N+1是奇数,则它必为两个不是1的奇数之积,即存在正整数k,l,使得
2N+1=(2k+1)(2l+1),
从而N=k(2l+1)+l=akl,
可见N在该等差数阵中.
综上所述,正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
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下表给出一个“等差数阵”:
| 4 | 7 | ( ) | ( ) | ( ) | …… |
| …… |
| 7 | 12 | ( ) | ( ) | ( ) | …… |
| …… |
| ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | …… |
| …… |
| ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | …… |
| …… |
| …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… |
|
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|
|
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| …… |
| …… |
| …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… | …… |
其中每行、每列都是等差数列,
表示位于第i行第j列的数。
(I)写出
的值;(II)写出
的计算公式;
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