Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）P（2，3），Q（2，﹣3）是椭圆上两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，
（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
（ii）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设C方程为，则．
由，得a=4
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）（i）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程为，代入，得x²+tx+t²﹣12=0
由△＞0，解得﹣4＜t＜4
由韦达定理得x₁+x₂=﹣t，x₁x₂=t²﹣12．
四边形APBQ的面积
∴当t=0，．
（ii）解：当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k
则PB的斜率为﹣k，PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）
由
（1）代入（2）整理得（3+4k²）x²+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）²﹣48=0

同理PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），
可得
∴

所以AB的斜率为定值．