Question

如图，在边长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E为AD中点，

(文)求E点到平面A₁C₁B的距离

(文)求二面角B－A₁C₁－B₁的平面角的余弦值

Answer 1

答案：
解析：

(文)在边长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1连B1D1，则B1D1⊥A1C1，设其交点为O1，连O1B．则由三垂线定理可知O1B⊥A1C1 　　∴∠BO1B1为二面角B－A1C1－B1的平面角． 　　又BB1＝1，O1B＝，∴tan∠BO1B1＝，从而cos∠BO1B1＝ 　　＝． 　　(2)取DC中点F，连接EF交BD于M点，又E为AD中点，故可知EF∥A1C1，则EF∥面BA1C1，因此E到平面BA1C1的距离就是M点到平面BA1C1的距离． 　　在对角面BA1D1D内，过M作MH⊥O1B交OB1于H， 　　∵A1C1⊥面BB1D1D，则面BD1⊥面BA1C1而MH⊥O1B，则MH⊥面BA1C1，又∵sin∠DBO1＝故在△MHB中，MH＝BM·sin∠DBO1＝·＝ 　　故E到平面BA1C1之距离为