Question

如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为正方形,P点在平面ABCD内的射影为A,且PA=AB=2,E为PD中点.

(1)证明PB∥平面AEC;

(2)证明平面PCD⊥平面PAD;

(3)求二面角EACD的正切值.

Answer 1

解:(1)证明：连结BD交AC于点O，连结EO.

∵O为BD中点，E为PD中点，

∴EO∥PB.

∵EO平面AEC,PB平面AEC,

∴PB∥平面AEC.

(2)证明：∵P点在平面ABCD内的射影为A，

∴PA⊥平面ABCD.

∵CD平面ABCD,

∴PA⊥CD.

又∵在正方形ABCD中CD⊥AD且PA∩AD=A,

∴CD⊥平面PAD.

又∵CD平面PCD,

∴平面PCD⊥平面PAD.

    

(3)方法一：取AD中点L,过L作LK⊥AC于K，连结EK、EL,

∵L为AD中点，∴EL∥PA.∴EL⊥平面ABCD.

∴LK为EK在平面ABCD内的射影.

又∵LK⊥AC,∴EK⊥AC.

∴∠EKL为二面角E-AC-D的平面角.

在Rt△ADC中,LK⊥AC,∴△AKL∽△ADC.∴=,即=.∴KL=.

又EL=PA=1,在Rt△ELK中,tan∠EKL=,

∴二面角E-AC-D的正切值为.

方法二：如图，以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.

由AP=AB=2可知A,B,C,D,P,E的坐标分别为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2), E(0,1,1).

∵PA⊥平面ABCD,∴是平面ABCD的法向量,=(0,0,2).

设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),=(0,1,1),=(2,2,0),

则即∴

∴令y=-1,则n=(1,-1,1).

∴cos〈,n〉=.∴tan〈,n〉=.

∴二面角EACD的正切值为2.