Question

（2010•宜春模拟）已知函数f（x）=x+

1

x-1

-1，当0＜|x|＜1，0＜|t|≤1时，|t+x|+|t-x|与|f（tx+1）|的大小关系是（　　）

A．|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|

B．|t+x|+|t-x|≤|f（tx+1）|

C．|t+x|+|t-x|＞|f（tx+1）|

D．|t+x|+|t-x|≥|f（tx+1）|

Answer 1

分析：设M（x）=|t+x|+|t-x|，由于M（-x）=M（x），故它是偶函数，画出其图象如图所示，结合图象得当0＜|x|＜1，0＜|t|≤1时，|t+x|+|t-x|＜2；又设N（x）=|f（tx+1）|，由于N（-x）=N（x），故它也是偶函数，当0＜t≤1，0＜x＜1时，N（x）=tx+

1

tx

利用基本不等式得出N（x）有最小值2．从而得出答案．

解答：解：设M（x）=|t+x|+|t-x|，由于M（-x）=M（x），
故它是偶函数，
其图象如图所示，它在[-1，1]上的最大值为2，
故当0＜|x|＜1，0＜|t|≤1时，|t+x|+|t-x|＜2；
又设N（x）=|f（tx+1）|=|tx+

1

tx

|，
由于N（-x）=N（x），故它也是偶函数，
当0＜t≤1，0＜x＜1时，N（x）=tx+

1

tx

≥2，
故当0＜|x|＜1，0＜|t|≤1时，N（x）=|f（tx+1）|≥2，
所以，当0＜|x|＜1，0＜|t|≤1时，|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|．
故选A．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．