Question

14．如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA=AB，∠ABC为直角，PA⊥BC．点D，E分别为PB，BC的中点．
（1）求证：AD⊥平面PBC；
（2）若F在线段AC上，当$\frac{AF}{FC}$为何值时，AD∥平面PEF？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明：BC⊥AD，AD⊥PB，即可证明AD⊥平面PBC；
（2）当AM∥EF，即$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$时，可得平面ADM∥平面PEF，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠ABC为直角，PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，
∵AD?平面PAB，
∴BC⊥AD，
∵PA=AB，D是PB的中点，
∴AD⊥PB，
∵PB∩BC=B，
∴AD⊥平面PBC；
（2）解：取BE的中点M，则PE∥DM，
当AM∥EF，即$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$时，可得平面ADM∥平面PEF，∴AD∥平面PEF，
故$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$时，AD∥平面PEF．

点评 本题考查线面垂直、平行的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．