Question

设为实数，记函数的最大值为。

 （Ⅰ）设，求的取值范围，并把表示为的函数；

 （Ⅱ）求；

 （Ⅲ）试求函数的最小值.

Answer 1

解：（I）∵，

∴要使有意义，必须且，即

∵，且……①    ∴的取值范围是。………2分

由①得：，∴，。…………………4分

（II）由题意知即为函数，的最大值，

∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：

（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，

由知在上单调递增，故；

（2）当时，，，有=2；

（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，

若即时，，

若即时，，

若即时，。

综上所述，有=。…………………9分

（III）当时，；

      当时，，，∴，

，故当时，；

所以，当时，函数取得最小值为。…………12分