Question

设函数f(x)=log_a(1-ax),其中0＜a＜1.

(1)证明f(x)是(-∞,)上的增函数;

(2)解不等式f(x)＞1.

Answer 1

(1)证明：任取x₁、x₂∈(-∞,),且x₁＜x₂,f(x₁)-f(x₂)=log_a(1-ax₁)-log_a(1-ax₂)=log_a.

    因为-1==,0＜a＜1,x₁＜x₂＜,

    所以1-ax₂＞0,a(x₂-x₁)＞0,即＞1.

    所以log_a＜0,即f(x₁)＜f(x₂).

    所以f(x)是(-∞,)上的增函数.

(2)解法一:因为0＜a＜1,

    所以f(x)＞1log_a(1-ax)＞log_aa

    解不等式①,得x＜;

    解不等式②,得x＞.

    因为0＜a＜1,所以＜.

    原不等式的解集为{x|＜x＜}.

    解法二:函数f(x)的定义域为{x|x＜}.

    解方程f(x)=1,得x=.

    由(1)知f(x)是(-∞,)上的增函数;

    所以当f(x)＞1时,x＞.

    因为＜,

    所以原不等式的解集为{x|＜x＜}.