Question

14．已知点M是圆心为E的圆（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16上的动点，点F（$\sqrt{3}$，0），线段MF的垂直平分线交EM于点P．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过原点O作直线l交（Ⅰ）中的轨迹C于点A，B，点D满足$\overrightarrow{FD}$=$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$，试求四边形AFBD的面积的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）得到|PM|=|PF|，求出点P的轨迹是椭圆，其中2a=4，c=$\sqrt{3}$，求出椭圆方程即可；
（Ⅱ）求出S_AFBD=2S_△AFB，通过讨论AB是短轴、AB是长轴的情况，求出四边形的面积即可．

解答 解：（Ⅰ）由于点P为线段MF的垂直平分线，
故|PM|=|PF|，
故|PE|+|PF|=|PE|+|PM|=|ME|=4＞2$\sqrt{3}$，
故点P的轨迹是椭圆，其中2a=4，c=$\sqrt{3}$，
因此P点的轨迹C的方程是：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{FD}$=$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$，知四边形AFBD是平行四边形，
故S_AFBD=2S_△AFB，
（1）AB是短轴时，
S_△AFB=$\frac{1}{2}$|AB|•|OF|=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$
即S_AFBD=2$\sqrt{3}$；
（2）AB是长轴时，易知AFBD不是四边形，故AB斜率不是0；
（3）直线AB的斜率存在且不是0时，设其斜率为k，
则直线AB的方程是：y=kx（k≠0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}{+y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，消去x得：
（1+4k²）y²-4k²=0，
故y₁+y₂=0，y₁y₂=$\frac{-{4k}^{2}}{1+{4k}^{2}}$，
S_AFBD=2S_△ABF=2×$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\sqrt{3}$•$\sqrt{{{（y}_{1}{+y}_{2}）}^{2}-{{4y}_{1}y}_{2}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{1{6k}^{2}}{1+{4k}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+4}}$，
而$\frac{1}{{k}^{2}}$+4＞4，故0＜$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+4}}$＜$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$=2$\sqrt{3}$，
综上，四边形AFBD的面积的取值范围是（0，2$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了椭圆的轨迹方程，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．