Question

已知函数f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，点（a_n+1，S_2n-1）在函数f（x）的图象上；数列{b_n}满足bn=(

3

4

)n-1．
（I）求a_n；
（II）若数列{c_n}满足cn=

an

4n-1•bn

，证明：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜3．

Answer 1

（I）因为点（a_n+1，S_2n-1）在函数f（x）的图象上，所以a_n²=S_2n-1，
令n=1，2得

a 21 =S1 a 22 =S3

，即

a 21 =a1，…① a 22 =3a1+3d，…②

解得

a1=1 d=2

，
∴a_n=2n-1；
（II）由（I）得cn=

an

4n-1•bn

=

2n-1

4n-1•( 3 4 )n-1

=

2n-1

3n-1

，
令T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
则T_n=

1

30

+

3

31

+

5

32

+…+

2n-3

3n-2

+

2n-1

3n-1

，①
∴

1

3

T_n=

1

31

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

，②
①-②得

2

3

T_n=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n-1

-

2n-1

3n

=1+

2

3

×

1- 1 3n-1

1- 1 3

-

2n-1

3n

=2-

2(n+1)

3n

∴T_n=3-

n+1

3n-1

＜3．