Question

设aR，函数f(x)＝3x³－4x＋a＋1．

(Ⅰ)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若对于任意x[－2，0]，不等式f(x)≤0恒成立，求a的最大值；

(Ⅲ)若方程f(x)＝0存在三个相异的实数根，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解： 　　f(x)的导数(x)＝9x2－4． 　　令(x)＞0，解得x＞，或x＜－；　令(x)＜0，解得－＜x＜． 　　从而f(x)的单调递增区间为，；单调递减区间为．　　3分 　　(Ⅱ)解： 　　由f(x)≤0，得－a≥3x3－4x＋1．　　4分 　　由(Ⅰ)得，函数y＝3x3－4x＋1在内单调递增，在内单调递减， 　　从而当x＝－时，函数y＝3x3－4x＋1取得最大值．　　6分 　　因为对于任意x∈[－2，0]，不等式f(x)≤0恒成立， 　　故－a≥，即a≤－， 　　从而a的最大值是－．　　8分 　　(Ⅲ)解： 当x变化时，f(x)，f′(x)变化情况如下表： 　　①由f(x)的单调性，当极大值a＋＜0或极小值a＞0时，方程f(x)＝0最多有一个实数根； 　　②当a＝－时，解方程f(x)＝0，得x＝－，x＝，即方程f(x)＝0只有两个相异的实数根； 　　③当a＝时，解方程f(x)＝0，得x＝，x＝－，即方程f(x)＝0只有两个相异的实数根． 　　如果方程f(x)＝0存在三个相异的实数根，则解得 　　a∈．　　12分 　　事实上，当a∈时， 　　∵f(－2)＝－15＋a＜－15＋＜0，且f(2)，17＋a＞17－＞0， 　　所以方程f(x)＝0在内各有一根． 　　综上，若方程f(x)＝0存在三个相异的实数根，则a的取值范围是．　　14分