Question

    已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，数列{a_n·a_n+1}是公比为q(q>0)的等比数列.

    (1)求使a_n·a_n+1+a_n+1·a_n+2>a_n+2·a_n+3(n∈N^*)成立的q的取值范围；

    (2)若b_n=a_2n－1+a_2n(n∈N^*),求b_n的表达式；

    (3)若S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n，并求.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：(1)由题意an·an+1=2qn－1,故an·an+1+an+1·an+2>an+2·an+3可化为：2qn－1+2qn>2qn+1,     又q>0,∴q2－q－1<0.∴.     (2)由an·an+1=2qn－1,an－1·an=2qn－2,     ∴.     ∴{an}的奇数项依次成等比数列.∴a2n－1=qn－1,     {an}的偶数项依次成等比数列.     ∴a2n=2qn－1.∴bn=3qn－1.     (3)①当q=1时，Sn=3n,,此时.     ②当q≠1时，,     若0<q<1,则,     若q>1，则.