Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.

(1)求证：PB⊥DM;

(2)(理)求CD与平面ADMN所成的角;

(文)求BD与平面ADMN所成的角.

Answer 1

解法一：(1)证明：因为N是PB的中点，PA=AB，所以AN⊥PB.

因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB.从而PB⊥平面ADMN.

因为DM平面ADMN，所以PB⊥DM.

(2)(理)解：取AD的中点G，连结BG、NG，则BG∥CD.

所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等.

因为PB⊥平面ADMN，所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角.

在Rt△BGN中，sin∠BGN=.

故CD与平面ADMN所成的角是arcsin.

(文)解：连结DN，因为PB⊥平面ADMN，所以∠BDN是BD与平面ADMN所成的角.

在Rt△BDN中，sin∠BDN=.

故BD与平面ADMN所成的角是.

解法二：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyz,设BC=1，则A(0,0，0)，P(0,0，2)，B(2,0，0)，C(2,1，0)，M(1, ,1),D(0,2,0).

(1)证明：因为=(2,0,-2)·(1,-,1)=0,所以PB⊥DM.

(2)(理)解：因为=(2,0,-2) ·(0,2,0)=0,所以PB⊥AD.

又因为PB⊥DM，所以PB⊥平面ADMN.

因此〈〉的余角即是CD与平面ADMN所成的角.

因为cos〈〉==,

所以CD与平面ADMN所成的角为arcsin.

(文)解：因为=(2,0,-2)·(0,2,0)=0,所以PB⊥AD.

又PB⊥DM，所以PB⊥平面ADMN.

因此〈〉的余角即是BD与平面ADMN所成的角.

因为cos〈〉=,

所以〈〉=.

因此BD与平面ADMN所成的角为.