Question

（2012•姜堰市模拟）在数列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4且a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄；
（2）猜想{a_n}，{b_n}的通项公式，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由条件得2b_n=a_n+a_n+1，a_n+1²=b_nb_n+1，由此能求出a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄．
（2）猜测a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²．然后根据题设条件，分别利用数学归纳法进行证明．

解答：解：（1）由条件得2b_n=a_n+a_n+1，a_n+1²=b_nb_n+1
由此可得a₂=6，b₂=9，a₃=12，b₃=16，a₄=20，b₄=25…（6分）
（2）猜测a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立
②假设当n=k时，结论成立，即a_k=k（k+1），b_k=（k+1）²
那么当n=k+1时，a_k+1=2b_k-a_k=2（k+1）²-k（k+1）=（k+1）（k+2）
bk+1=

a 2 k+1

bk

=(k+2)2
所以当n=k+1时，结论也成立…（11分）
由①②可知，a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²…（12分）
对一切正整数都成立．

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意数学归纳法的灵活运用．