Question

已知不等式ax²+bx+c＞0的解集为(α,β),且0＜α＜β,求不等式cx²+bx+a＜0的解集.

Answer 1

分析：不等式ax²+bx+c＞0的解集已给出为（α，β），因此对应的二次方程ax²+bx+c=0的根也就给出.而所求二次不等式对应的二次方程的系数与已知二次不等式对应的二次方程的系数有相似的构成，因此可通过韦达定理来寻求它们之间的关系,本题可以由此入手.

解法一：由已知不等式及其解集可得a＜0.

∵α、β为方程ax²+bx+c=0的两根，

∴由韦达定理可得

∵a＜0,∴由②得c＜0.

由cx²+bx+a＜0,得x²++＞0.

①÷②得=,

由②得==·＞0.

∴、为x²+x+=0的两根.

又∵0＜α＜β,∴0＜＜.

∴不等式x²+x+＞0的解集为

x＜或x＞,

即不等式cx²+bx+a＜0的解集为

{|x＜或x＞

解法二：∵a＜0,由cx²+bx+a＜0，

得x²+x+1＞0.

将①②代入得αβx²-(α+β)x+1＞0,

即（αx-1）(βx-1)＞0.

∵0＜α＜β,

∴0＜＜.

∴不等式的解集为{x|x＜或x＞}.