Question

某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，(平面图如图.所示)由于地形限制，长宽都不超过16米，如果池四周围壁建造单价为每米400元，中间两道隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．

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Answer 1

答案：
解析：

设污水池长为x米，则宽为米，于是其总造价 Q(x)=400(2x+2·)+248·2·+80×200 　 =800(x+)+16000 　≥800·2+16000=44800 当且仅当x=(x＞0)，即x=18时，上式取等号 而由题设条件知：解得：12≤x≤16 ∵18｛x|12≤x≤16｝，∴　Q(x)＞44800 从而说明本题不能用均值不等式来求Q(x)的最小值． 下面研究Q(x)在[12，16]上的单调性 对任意的x1，x2∈[12，16]， 设x1＜x2，有x2-x1＞0，x1x2＜162＜324，即x1x2-324＜0 ∵Q(x2)-Q(x1)=800[(x2-x1)+324(- ) 　　　　　 =＜0， ∴　Q(x1)＞Q(x2) 故Q(x)在[12，16]上是减函数，从而有Q(x)≥Q(16)=45000；即当污水池的长为x=16米，宽为=12.5米时，有最低造价Q的最小值=45000(元)．