Question

9．已知a，b∈R⁺，a+b=1，x₁，x₂∈R⁺．
（Ⅰ）求$\frac{x_1}{a}+\frac{x_2}{b}+\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}$的最小值；  
（Ⅱ）求证：（ax₁+bx₂）（ax₂+bx₁）≥x₁x₂．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\frac{x_1}{a}+\frac{{x{\;}_2}}{b}+\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}≥3•\root{3}{{\frac{x_1}{a}•\frac{{x{\;}_2}}{b}•\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}}}≥3•\root{3}{{\frac{2}{{{{（\frac{a+b}{2}）}^2}}}}}=3\root{3}{8}=6$，验证等号成立即可；
（2）展开已知式子左边，由基本不等式和完全平方式可得．

解答 解：（1）∵a，b∈R₊，a+b=1，x₁，x₂∈R₊，
∴$\frac{x_1}{a}+\frac{{x{\;}_2}}{b}+\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}≥3•\root{3}{{\frac{x_1}{a}•\frac{{x{\;}_2}}{b}•\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}}}≥3•\root{3}{{\frac{2}{{{{（\frac{a+b}{2}）}^2}}}}}=3\root{3}{8}=6$
当且仅当$\frac{x_1}{a}=\frac{x_2}{b}=\frac{2}{{{x_1}{x_2}}}$时取等号，
故式子的最小值为6；
（2）∵a，b∈R₊，a+b=1，x₁，x₂∈R₊，
∴（ax₁+bx₂）（ax₂+bx₁）
=a²x₁x₂+abx₁²+abx₂²+b²x₁x₂
=（a²+b²）x₁x₂+ab（x₁²+x₂²）
≥（a²+b²）x₁x₂+2abx₁x₂
=（a²+b²+2ab）x₁x₂
=（a+b）²x₁x₂
=x₁x₂，
当且仅当x₁=x₂时，取等号，
∴（ax₁+bx₂）（ax₂+bx₁）≥x₁x₂．

点评 本题考查基本不等式求最值和基本不等式证明不等式，属中档题．