Question

已知函数f(x)=ax⁴lnx+bx⁴-c(x＞0)在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数。
（1）试确定a，b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f(x)≥-2c²恒成立，求c的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意知f(1)=-3-c，因此b-c=-3-c，从而b=-3，
又对f(x)求导得，
由题意f′(1)=0，
因此a+4b=0，解得a=12。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知（x＞0），
令f′(x)=0，解得x=1，
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数；
当x＞1时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数；
因此f(x)的单调递减区间为（0，1），而f(x)的单调递增区间为（1，+∞）。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-3-c，此极小值也是最小值，
要使（x＞0）恒成立，只需，
即或c≤-1，
所以c的取值范围为。