Question

若函数f(x)=log

1

2

(x3-ax)在(-3，-2)上单调递减，则实数a的取值范围是

[9，12]

．

Answer 1

分析：将原函数f(x)=log

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2

(x3-ax)看成是函数：y=log

1

2

μ，μ=x³-ax的复合函数，利用对数函数与三次函数的单调性来研究即可．注意对数的真数必须大于0．

解答：解：设μ=x³-ax．
则原函数是函数：y=log

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2

μ，μ=x³-ax的复合函数，
因y=log

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2

μ在（0，+∞）上是减函数，
根据复合函数的单调性，得
函数f(x)=log

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2

(x3-ax)的单调减区间是函数μ=x³-ax的单调增区间，
∴μ′=3x²-a≥0在（-3，-2）恒成立，即a≤3x²在（-3，-2）恒成立，
∴a≤3×（-2）²=12
且μ=（-3）³-a×（-3）≥0⇒a≥9，
∴9≤a≤12．
故答案为：[9，12]．

点评：本题考查复合函数的单调性、导数的应用，是基础题．复合函数的单调性一般是看函数包含的两个函数的单调性（1）如果两个都是增的，那么函数就是增函数 （2）一个是减一个是增，那就是减函数 （3）两个都是减，那就是增函数．