Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²，有b_n=2^a_n，
（1）求证数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}的前n项和求出数列的通项公式，代入b_n=2^a_n后由等比数列的定义证明数列{b_n}是等比数列；
（2）利用错位相减法求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
此式当n=1时成立，故a_n=2n-1（n∈N^*）．
∴

bn+1

bn

=

2an+1

2an

=

22n+1

22n-1

=4．故数列{b_n}是等比数列；
（2）∵anbn=(2n-1)•22n-1．
Tn=1•2+3•23+5•25+…+(2n-3)•22n-3+(2n-1)•22n-1①
4Tn=1•23+3•25+5•27+…(2n-3)•22n-1+(2n-1)•22n+1②
②-①得：3Tn=-2-2(23+25+27+…+22n-1)+(2n-1)•22n+1
=-2-2

23(1-4n-1)

1-4

+(2n-1)•22n+1．
∴Tn=

6n-5

9

•22n+1+

10

9

．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了错位相减法求数列的钱n项和，是中档题．