Question

空间四边形ABCD中，平行于对角线AC、BD的平面分别交AB、BC、CD、DA于点E、F、G、H，且AC⊥BD，AC=a，BD=b，求四边形EFGH面积的最大值.

Answer 1

思路分析：判断四边形EFGH是矩形，利用矩形的面积公式建立目标函数，求最值.

解：由BD∥平面EFGH，且BD平面ABD，平面ABD∩平面EFGH=EH，知EH∥BD，同理，FG∥BD.

故EH∥FG.同理，EF∥HG.

故四边形EFGH是平行四边形.

由BD⊥AC，知EF⊥EH，从而∠HEF=90°.故平行四边形EFGH是矩形.

设EF=x，由相似三角形知，∴.

∴，得FG=.

∴S_{四边形EFGH}=FG·EF

=x=(ax-x²)

=［-(x-)²+］.

当x=时，四边形EFGH面积最大，最大值为.