Question

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2[如图(1)]．将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁EFB成直二面角，连结A₁B、A₁P[如图(2)]．

(1)求证：A₁E⊥平面BEP；

(2)求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)不妨设正三角形的ABC的边长为3，在图(1)中，取BE的中点D，连结DF．AE：EB＝CF∶FA＝1∶2，∴AF＝AD＝2．而∠A＝60°， 　　∴△ADF是正三角形．又AE＝DE＝1， 　　∴EF⊥AD在图(2)中，A1E⊥EF，BE⊥EF， 　　∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE， 　　又BE∩EF＝E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP． 　　(2)在图(2)中，A1E不垂直A1B，又A1E⊥平面BEP，∴A1E⊥BE．从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影，设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q，则∠EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q．在△EBP中，BE＝EP＝2，而∠EBP＝60°，∴△EBP是等边三角形．又A1E⊥平面BEP，∴A1B＝A1P， 　　∴Q为BP的中点，且EQ＝，又A1E＝1，在Rt△A1EQ中，tan∠EA1Q＝， 　　∴∠EA1Q＝60°，∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60°．

提示：

在立体几何学习中，要多培养空间想象能力，对于图形的翻折问题，关键是利用翻折前后的不变量．