Question

解关于x的不等式x²－(a＋a²)x＋a²＞0(a∈R)．

Answer 1

答案：
解析：

解：原不等式可变形为(x－a)(x－a2)＞0，则方程(x－a)·(x－a2)＝0的两根为x1＝a，x2＝a2，下面比较两根a与a2的大小． 　　当a＜0时，有a＜a2，∴x＜a或x＞a2，此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}； 　　当0＜a＜1时，有a＞a2，∴x＜a2或x＞a，此时原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}； 　　当a＞1时，有a＜a2，∴x＜a或x＞a2，此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}； 　　当a＝0时，有x≠0，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 　　当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}． 　　综上可知，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}； 　　当0＜a＜1时，有a＞a2，∴x＜a2或x＞a，此时原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}； 　　当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 　　当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}． 　　思路分析：本例利用了参数的一元二次不等式的解法．原不等式可变形为(x－a)(x－a2)＞0，故需比较(x－a)·(x－a2)＝0的两根a与a2的大小，从而确定对参数a进行分类的标准． 　　方法归纳：含参数的一元二次不等式可分为两种情形：一是二次项系数为常数，参数在一次项或常数项的位置，此时可考虑分解因式，再对参数进行讨论．若不易分解因式，则要对判别式△分类讨论，分类应不重不漏；二是二次项系数为参数，则应考虑二次项系数是否为0，然后再讨论二次项系数不为0的情形，以便确定解集的形式．