Question

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．

(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为a_n万元，旅游业总收入为b_n万元，写出a_n、b_n的表达式；

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n年投入为800×(1－)n－1万元，所以n年内的总投入为 　　an＝800＋800×(1－)＋…＋800×(1－)n－1＝800×(1－)k－1 　　＝4000×[1－()n]． 　　第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1＋)，…，第n年旅游业收入为400×(1＋)n－1万元．所以n年内的旅游业总收入为 　　bn＝400＋400×(1＋)＋…＋400×(1＋)k－1＝400×()k－1． 　　＝1600×[()n－1]． 　　(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，即 　　1600×[()n－1]－4000×[1－()n]＞0，令x＝()n，代入上式得5x2－7x＋2＞0．解此不等式，得x＜或x＞1(舍去)， 　　即()n＜，由此得n≥5． 　　所以至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入． 　　思路解析：第一问an、bn实际上是两个数列的前n项和，注意不要与“通项”混淆；第二问是既解一元二次不等式又解指数不等式，注意不要出现偏差．