Question

已知椭圆的方程为，点P（a，b）的坐标满足，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：
（Ⅰ）点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数．

Answer 1

解：（Ⅰ）设点A、B的坐标分别为，点Q的坐标为Q（x，y），
当时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y=k（x-a）+b，
由已知， （1）
，（2）
由（1）得， （3）
由（2）得， （4）
由（3）、（4）及，
得点Q的坐标满足方程， （5）
当时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a，0）显然点Q的坐标满足方程（5）；
综上所述，点Q的坐标满足方程，
设方程（5）所表示的曲线为L，
则由得，
因为，由已知，
所以当时，△=0，曲线L与椭圆C有且只有一个交点P（a，b）；
当时，△＜0，曲线L与椭圆C没有交点，
因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，
所以曲线L在椭圆C内，故点Q的轨迹方程为。
（Ⅱ）由，解得曲线L与y轴交于点（0，0），（0，b）；
由，解得曲线L与x轴交于点（0，0），（a，0），
当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重点，曲线L与坐标轴只有一个交点（0，0）；
当a=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线L与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）；
同理，当b=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）；
当，即点P（a，b）在椭圆C内且不在坐标轴上时，曲线L与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）。