Question

已知椭圆的两个焦点为F₁，F₂，P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）求△F₁PF₂的面积仅与椭圆的短轴长有关．

Answer 1

解：（1）设|PF₁|=m，|PF₂|=n
则根据椭圆的定义，得m+n=2a，…．①
又∵△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°
∴由余弦定理，得m²+n²-mn=4c²…．②
①②联解，得
又∵，
∴≤a²，化简整理，得a²＜4c²，解之得
即椭圆离心率的取值范围是[，1）
（2）由（1），得=b²
∴
面积表达式中的字母只含有b，可得△F₁PF₂的面积仅与椭圆的短轴长有关．
分析：（1）设|PF₁|=m，|PF₂|=n．根据椭圆的定义和余弦定理，建立关于m、n的方程组，联解可得m、n关于a、c的式子，再根据基本不等式得mn≤a²，建立关于a、c的不等式，变形整理即可得到椭圆离心率的取值范围；
（2）根据（1）中的结论，可算出△F₁PF₂的面积等于b²，由此可得△F₁PF₂的面积仅与椭圆的短轴长有关．
点评：本题给出椭圆上一点与椭圆两个焦点构成的三角形，求三角形的面积并讨论椭圆的离心率，着重考查了椭圆的定义与简单性质、基本不等式求最值和用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．