Question

如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD和△BCD是两个全等的等腰直角三角形，O为BD的中点，且AB=AD=CB=CD=2，AC=．

(1)当时，求证：AO⊥平面BCD；

(2)当二面角的大小为时，求二面角的正切值．

Answer 1

【解析】(1)根据题意知，在△AOC中，，，

所以，所以AO⊥CO．

因为AO是等腰直角E角形ABD的中线，所以AO⊥BD．

又BDCO=O，所以AO⊥平面BCD．

(2)法一  由题易知，CO⊥OD．如图，以O为原点，

OC、OD所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则有O(0，0，0)，，，．

设，则，．

设平面ABD的法向量为，

则即

所以，令，则．

所以．

因为平面BCD的一个法向量为，

且二面角的大小为，所以，

即，整理得．

因为，所以，

解得，，所以，

设平面ABC的法向量为，

因为，，

则即

令，则，．所以．

设二面角的平面角为，则

．

所以，即二面角的正切值为．

法二  在△ABD中，BD⊥AO，在△BCD中，BD⊥CO，

所以∠AOC是二面角的平面角，即∠AOC=．

如图，过点A作CO的垂线交CO的延长线于点H，

因为BD⊥CO，BD⊥AO，且COAO=O，

所以BD⊥平面AOC．

因为AH平面AOC，所以BD⊥AH．

又CO⊥AH，且COBD=O，所以AH⊥平面BCD．

过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK．

因为BC⊥AH，AKAH=A，所以BC⊥平面AHK．

因为HK平面AHK，所以BC⊥HK，

所以∠AKH为二面角的平面角．

在△AOH中，∠AOH=，，则，，

所以．

在Rt△CHK中，∠HCK=，所以．

在Rt△AHK中，，

所以二面角的正切值为．